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Der `!Integralsinus`! ist ein Begriff aus der `F33f`_`[Mathematik`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Mathematik]`_`f und bezeichnet eine durch ein `F33f`_`[Integral`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Integralrechnung]`_`f gegebene `F33f`_`[Funktion`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Funktion_(Mathematik)]`_`f. `F33f`_`[Joseph Liouville`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Joseph_Liouville]`_`f (1809–1882) bewies, dass der `F33f`_`[Kardinalsinus`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Sinc]`_`f nicht `F33f`_`[elementar integrierbar`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Elementare_Funktion]`_`f ist.`:cite-ref-1[`F5bf`_`[1`#cite-note-1]`_`f]`:cite-ref-2[`F5bf`_`[2`#cite-note-2]`_`f]`:cite-ref-3[`F5bf`_`[3`#cite-note-3]`_`f]`:cite-ref-4[`F5bf`_`[4`#cite-note-4]`_`f]

Der Integralsinus ist definiert als das Integral der `F33f`_`[Sinc`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Sinc]`_`f-Funktion:

Si ⁡ ⁡ ( x ) := ∫ ∫ 0 x si ⁡ ⁡ ( t ) d t = ∫ ∫ 0 x sin ⁡ ⁡ t t d t {\\displaystyle \\operatorname {Si} (x):=\\int _{0}^{x}\\operatorname {si} (t)\\,\\mathrm {d} t=\\int _{0}^{x}{\\frac {\\sin t}{t}}\\,\\mathrm {d} t} .`:cite-ref-5[`F5bf`_`[5`#cite-note-5]`_`f]

>>Contents

• `F0af`_`[Eigenschaften`#eigenschaften]`_`f

• `F0af`_`[Spezielle Werte`#spezielle-werte]`_`f

• `F0af`_`[Verwandte Grenzwerte`#verwandte-grenzwerte]`_`f

• `F0af`_`[Weitere Integralidentitäten`#weitere-integralidentit-ten]`_`f

• `F0af`_`[Siehe auch`#siehe-auch]`_`f

• `F0af`_`[Literatur`#literatur]`_`f

• `F0af`_`[Weblinks`#weblinks]`_`f

• `F0af`_`[Einzelnachweise`#einzelnachweise]`_`f

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>>Eigenschaften

• Im Grenzübergang lim x → → ∞ ∞ S i ( x ) {\\displaystyle \\lim _{x\\to \\infty }\\mathrm {Si} \\left(x\\right)} kann das Integral ausgewertet werden. Es gilt:`:cite-ref-6[`F5bf`_`[6`#cite-note-6]`_`f]

lim x → → ∞ ∞ S i ( x ) = π π 2 {\\displaystyle \\lim _{x\\to \\infty }\\mathrm {Si} \\left(x\\right)={\\frac {\\pi }{2}}}

Dies wird im Folgenden bewiesen:

lim x → → ∞ ∞ S i ( x ) = ∫ ∫ 0 ∞ ∞ sin ⁡ ⁡ ( x ) x d x = ∫ ∫ 0 ∞ ∞ ∫ ∫ 0 ∞ ∞ sin ⁡ ⁡ ( x ) exp ⁡ ⁡ ( − − x y ) d y d x = ∫ ∫ 0 ∞ ∞ ∫ ∫ 0 ∞ ∞ sin ⁡ ⁡ ( x ) exp ⁡ ⁡ ( − − x y ) d x d y = ∫ ∫ 0 ∞ ∞ 1 y 2 + 1 d y = π π 2 {\\displaystyle \\lim _{x\\to \\infty }\\mathrm {Si} \\left(x\\right)=\\int _{0}^{\\infty }{\\frac {\\operatorname {sin} (x)}{x}}\\,\\mathrm {d} x=\\int _{0}^{\\infty }\\int _{0}^{\\infty }\\operatorname {sin} (x)\\operatorname {exp} (-xy)\\,\\mathrm {d} y\\,\\mathrm {d} x=\\int _{0}^{\\infty }\\int _{0}^{\\infty }\\operatorname {sin} (x)\\operatorname {exp} (-xy)\\,\\mathrm {d} x\\,\\mathrm {d} y=\\int _{0}^{\\infty }{\\frac {1}{y^{2}+1}}\\mathrm {d} y={\\frac {\\pi }{2}}}

• Sinus:

sin ⁡ ⁡ x = 1 2 i ( e i x − − e − − i x ) {\\displaystyle \\sin x={\\frac {1}{2\\mathrm {i} }}\\left(\\mathrm {e} ^{\\mathrm {i} x}-\\mathrm {e} ^{-\\mathrm {i} x}\\right)}

gilt mit der `F33f`_`[Integralexponentialfunktion`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Integralexponentialfunktion]`_`f E i {\\displaystyle \\mathrm {Ei} }

S i ( x ) = 1 2 i ( E i ( i x ) − − E i ( − − i x ) ) + π π 2 {\\displaystyle \\mathrm {Si} (x)={\\frac {1}{2\\mathrm {i} }}\\left(\\mathrm {Ei} (\\mathrm {i} \\ x)-\\mathrm {Ei} (-\\mathrm {i} \\ x)\\right)+{\\frac {\\pi }{2}}}

• Die Entwicklung in eine `F33f`_`[Taylorreihe`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Taylorreihe]`_`f an der Stelle 0 liefert die `F33f`_`[kompakt konvergente`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Kompakte_Konvergenz]`_`f Reihe:`:cite-ref-7[`F5bf`_`[7`#cite-note-7]`_`f]

S i ( x ) = x − − x 3 3 ! ⋅ ⋅ 3 + x 5 5 ! ⋅ ⋅ 5 − − x 7 7 ! ⋅ ⋅ 7 + ⋯ ⋯ = ∑ ∑ k = 0 ∞ ∞ ( − − 1 ) k ( 2 k + 1 ) ! ⋅ ⋅ ( 2 k + 1 ) x 2 k + 1 {\\displaystyle \\mathrm {Si} \\left(x\\right)=x-{\\frac {x^{3}}{3!\\cdot 3}}+{\\frac {x^{5}}{5!\\cdot 5}}-{\\frac {x^{7}}{7!\\cdot 7}}+\\cdots \\quad =\\sum _{k=0}^{\\infty }{\\frac {(-1)^{k}}{(2k+1)!\\cdot (2k+1)}}x^{2k+1}}

Eng verwandt ist der `F33f`_`[Integralkosinus`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Integralkosinus]`_`f Ci ⁡ ⁡ ( x ) {\\displaystyle \\operatorname {Ci} (x)} , der zusammen mit dem Integralsinus Si ⁡ ⁡ ( x ) {\\displaystyle \\operatorname {Si} (x)} in parametrischer Darstellung eine `F33f`_`[Klothoide`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Klothoide]`_`f bildet.

>>Spezielle Werte

S i ( π π ) = 1,851 937... {\\displaystyle \\mathrm {Si} (\\pi )=1{,}851937...} `F33f`_`[Wilbraham-Gibbs-Konstante`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Gibbssches_Phänomen]`_`f`:cite-ref-8[`F5bf`_`[8`#cite-note-8]`_`f]

>>Verwandte Grenzwerte

lim x → → ∞ ∞ ∫ ∫ 0 x sin 2 ⁡ ⁡ t t 2 d t = 1 2 π π {\\displaystyle \\lim _{x\\to \\infty }\\int _{0}^{x}{\\frac {\\sin ^{2}t}{t^{2}}}\\,dt={\\frac {1}{2}}\\pi }

lim x → → ∞ ∞ ∫ ∫ 0 x sin 3 ⁡ ⁡ t t 3 d t = 3 8 π π {\\displaystyle \\lim _{x\\to \\infty }\\int _{0}^{x}{\\frac {\\sin ^{3}t}{t^{3}}}\\,dt={\\frac {3}{8}}\\pi }

lim x → → ∞ ∞ ∫ ∫ 0 x sin 4 ⁡ ⁡ t t 4 d t = 1 3 π π {\\displaystyle \\lim _{x\\to \\infty }\\int _{0}^{x}{\\frac {\\sin ^{4}t}{t^{4}}}\\,dt={\\frac {1}{3}}\\pi }

lim x → → ∞ ∞ ∫ ∫ 0 x sin 6 ⁡ ⁡ t t 6 d t = 11 40 π π {\\displaystyle \\lim _{x\\to \\infty }\\int _{0}^{x}{\\frac {\\sin ^{6}t}{t^{6}}}\\,dt={\\frac {11}{40}}\\pi }

>>Weitere Integralidentitäten

Im `F33f`_`[Handbuch der mathematischen Funktionen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Abramowitz-Stegun]`_`f von `F33f`_`[Milton Abramowitz`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Milton_Abramowitz]`_`f und `F33f`_`[Irene Stegun`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Irene_Stegun]`_`f werden weitere Integraldarstellungen für den `*Integralsinus`* und den `*Integralkosinus`* angegeben, die auf der Exponentialfunktion basieren und sich auf folgende Form bringen lassen:`:cite-ref-9[`F5bf`_`[9`#cite-note-9]`_`f]

∫ ∫ 0 ∞ ∞ exp ⁡ ⁡ ( − − x y ) y 2 + 1 d y = 1 2 π π cos ⁡ ⁡ ( x ) − − Si ⁡ ⁡ ( x ) cos ⁡ ⁡ ( x ) + Ci ⁡ ⁡ ( x ) sin ⁡ ⁡ ( x ) {\\displaystyle \\int _{0}^{\\infty }{\\frac {\\exp(-xy)}{y^{2}+1}}\\,\\mathrm {d} y={\\frac {1}{2}}\\pi \\cos(x)-\\operatorname {Si} (x)\\cos(x)+\\operatorname {Ci} (x)\\sin(x)}

∫ ∫ 0 ∞ ∞ y exp ⁡ ⁡ ( − − x y ) y 2 + 1 d y = 1 2 π π sin ⁡ ⁡ ( x ) − − Si ⁡ ⁡ ( x ) sin ⁡ ⁡ ( x ) − − Ci ⁡ ⁡ ( x ) cos ⁡ ⁡ ( x ) {\\displaystyle \\int _{0}^{\\infty }{\\frac {y\\exp(-xy)}{y^{2}+1}}\\,\\mathrm {d} y={\\frac {1}{2}}\\pi \\sin(x)-\\operatorname {Si} (x)\\sin(x)-\\operatorname {Ci} (x)\\cos(x)}

Durch Linearkombination und unter Zuhilfenahme des `F33f`_`[„trigonometrischen Pythagoras“`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Trigonometrischer_Pythagoras]`_`f folgt daraus:

Si ⁡ ⁡ ( x ) = π π 2 − − cos ⁡ ⁡ ( x ) ∫ ∫ 0 ∞ ∞ exp ⁡ ⁡ ( − − x y ) y 2 + 1 d y − − sin ⁡ ⁡ ( x ) ∫ ∫ 0 ∞ ∞ y exp ⁡ ⁡ ( − − x y ) y 2 + 1 d y {\\displaystyle \\operatorname {Si} (x)={\\frac {\\pi }{2}}-\\cos(x)\\int _{0}^{\\infty }{\\frac {\\exp(-xy)}{y^{2}+1}}\\,\\mathrm {d} y-\\sin(x)\\int _{0}^{\\infty }{\\frac {y\\exp(-xy)}{y^{2}+1}}\\,\\mathrm {d} y}

Ci ⁡ ⁡ ( x ) = sin ⁡ ⁡ ( x ) ∫ ∫ 0 ∞ ∞ exp ⁡ ⁡ ( − − x y ) y 2 + 1 d y − − cos ⁡ ⁡ ( x ) ∫ ∫ 0 ∞ ∞ y exp ⁡ ⁡ ( − − x y ) y 2 + 1 d y {\\displaystyle \\operatorname {Ci} (x)=\\sin(x)\\int _{0}^{\\infty }{\\frac {\\exp(-xy)}{y^{2}+1}}\\,\\mathrm {d} y-\\cos(x)\\int _{0}^{\\infty }{\\frac {y\\exp(-xy)}{y^{2}+1}}\\,\\mathrm {d} y}

>>Siehe auch

• `F33f`_`[Integralexponentialfunktion`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Integralexponentialfunktion]`_`f

• `F33f`_`[Integralkosinus`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Integralkosinus]`_`f

>>Literatur

• Milton Abramowitz, Irene Stegun: Handbook of Mathematical Functions. Dover, New York 1972; S. 231 bis 233

• Horst Nasert: `*Über den allgemeinen Integralsinus und Integralkosinus.`*

• Erwin O. Kreyszig (Referent: `F33f`_`[Alwin [Oswald Walther`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Alwin_Walther]`_`f; Korreferent: `F33f`_`[Curt [Otto Walther Schmieden`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Curt_Schmieden]`_`f): `*Über den allgemeinen Integralsinus S i ( z , a ) {\\displaystyle \\mathrm {Si} (z,a)} .`* Auszug aus Inauguraldissertation, Institut für Praktische Mathematik der Technischen Hochschule Darmstadt.

>>Weblinks

• `F33f`_`[Eric W. Weisstein`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Eric_Weisstein]`_`f: `*Sine Integral`*. In: `*`F33f`_`[MathWorld`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=MathWorld]`_`f`* (englisch).

>>Einzelnachweise

`:cite-note-1`!1.`! `F0af`_`[↑`#cite-ref-1]`_`f J. Liouville: „Mémoire. Sur la classification des Transcendantes et sur l’impossibilité d’exprimer les racines des certaines équations en fonction finie explicite des coefficients. Part 1“. `*`F33f`_`[Journal de Mathématiques Pures et Appliquées`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Journal_de_Mathématiques_Pures_et_Appliquées]`_`f,`* `!2,`! 56–105, 1837.

`:cite-note-2`!2.`! `F0af`_`[↑`#cite-ref-2]`_`f J. Liouville: „Suite du Mémoire. Sur la classification des Transcendantes et sur l’impossibilité d’exprimer les racines des certaines équations en fonction finie explicite des coefficients. Part 2“. `*Journal de Mathématiques Pures et Appliquées,`* `!3,`! 523–547, 1838.

`:cite-note-3`!3.`! `F0af`_`[↑`#cite-ref-3]`_`f J. Liouville: „Mémoire. Sur l’integration d’une classe d’Équations différentielles du second ordre en quantités finies explicites“. `*Journal de Mathématiques Pures et Appliquées,`* `!4,`! 423–456, 1839.

`:cite-note-4`!4.`! `F0af`_`[↑`#cite-ref-4]`_`f `F33f`_`[Joseph (Fels) Ritt`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Joseph_Ritt]`_`f: `*Integration in Finite Terms: Liouville’s Theory of Elementary Methods.`* Columbia University Press, New York 1948.

`:cite-note-5`!5.`! `F0af`_`[↑`#cite-ref-5]`_`f `F33f`_`[Siegfried (Johannes) Gottwald`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Siegfried_Gottwald]`_`f: `*Handbuch der Mathematik. Ein Ratgeber für Schule und Praxis, zum Selbststudium besonders geeignet.`* Buch und Zeit Verlagsgesellschaft, Köln 1986. ISBN 3-8166-0015-8. S. 517 (704 S.).

`:cite-note-6`!6.`! `F0af`_`[↑`#cite-ref-6]`_`f Ilʹja N. Bronštejn: Taschenbuch der Mathematik. 11., aktualisierte Auflage. Haan-Gruiten 2020, ISBN 978-3-8085-5792-1, S. 771.

`:cite-note-7`!7.`! `F0af`_`[↑`#cite-ref-7]`_`f Ilʹja N. Bronštejn: Taschenbuch der Mathematik. 11., aktualisierte Auflage. Haan-Gruiten 2020, ISBN 978-3-8085-5792-1, S. 526.

`:cite-note-8`!8.`! `F0af`_`[↑`#cite-ref-8]`_`f `F33f`_`[Eric W. Weisstein`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Eric_Weisstein]`_`f: `*Wilbraham-Gibbs Constant`*. In: `*`F33f`_`[MathWorld`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=MathWorld]`_`f`* (englisch).

`:cite-note-9`!9.`! `F0af`_`[↑`#cite-ref-9]`_`f Milton Abramowitz, Irene Stegun: Handbook of Mathematical Functions. 9. Auflage. 1972, S. 231 bis 233 (englisch, Formeln 5.2.5 bis 5.2.13).

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